‹아주대 2020학년도 50번

기출 아주대 2020학년도 50번

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※ 문제 48~50

아래 글을 읽고 물음에 답하라.

  • 이상 적분 I=∫0∞e−x2e−4x−2dx\displaystyle I= \int _ {0} ^ {\infty} {e ^ {-x ^ {2}} e ^ {-4x ^ {-2}}} dx 의 값을 구하는 요령을 살펴보자.
  • 우선 다음과 같이 변형한다:
  • I=∫0∞e−x2e−4x−2dx=e−α∫0∞e−(x+βx−1)2dx.\displaystyle I= \int _ {0} ^ {\infty} {e ^ {-x ^ {2}} e ^ {-4x ^ {-2}}} dx=e ^ {- \alpha} \int _ {0} ^ {\infty} {e ^ {- \left (x+ \beta x ^ {-1} \right) ^ {2}}} dx.
  • 여기서 x=γt−1x= \gamma t ^ {-1} 라 치환하여 아래 식을 얻는다:
  • I=e−α∫0∞e−(t+βt−1)2γt−2dt.\displaystyle I=e ^ {- \alpha} \int _ {0} ^ {\infty} {e ^ {- \left (t+ \beta t ^ {-1} \right) ^ {2}} \gamma t ^ {-2}} dt.
  • 이로부터
  • 2I=e−α∫0∞e−(x+βx−1)2(1+γx−2)dx\displaystyle 2I=e ^ {- \alpha} \int _ {0} ^ {\infty} {e ^ {- \left (x+ \beta x ^ {-1} \right) ^ {2}} \left (1+ \gamma x ^ {-2} \right)} dx
  • 마지막으로 u=x+βx−1u=x+ \beta x ^ {-1} 로 치환하면, 아래 식을 얻는다：
  • 2I=e−α∫μ∞e−u2du\displaystyle 2I=e ^ {- \alpha} \int _ {\mu} ^ {\infty} {e ^ {-u ^ {2}}} du
  • 잘 알려진 ∫0∞e−x2dx=π2\displaystyle \int _ {0} ^ {\infty} {e ^ {-x ^ {2}} dx} = \frac{\sqrt {\pi}} {2} 을 활용하여 II 의 값을 구할 수 있다.

∫0∞e−x2e−4x−2dx\displaystyle \int _ {0} ^ {\infty} {e ^ {-x ^ {2}} e ^ {-4x ^ {-2}} dx} 의 값은?

  • ①π2e−4\displaystyle \frac{\sqrt {\pi}} {2} e ^ {-4}
  • ②π4e−4\displaystyle \frac{\sqrt {\pi}} {4} e ^ {-4}
  • ③11
  • ④π4e4\displaystyle \frac{\sqrt {\pi}} {4} e ^ {4}
  • ⑤π2e4\displaystyle \frac{\sqrt {\pi}} {2} e ^ {4}
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