반지름이 $1$ 인 원에 외접하는 정 $n$ 각형과 내접하는 정 $n$ 각형의 넓이 차를 $A_n$ 이라 하자. $\displaystyle \lim _ {n \rightarrow \infty} {n^k A_n}$ 이 존재하도록 하는 상수 $k$ 에 대하여 $\displaystyle \lim _ {n \rightarrow \infty} {n^k A_n} = \alpha$ 라 할 때, $\alpha ^k$ 의 값은?

• ①$\pi ^2$
• ②$\pi ^3$
• ③$\pi ^6$
• ④$\pi ^ {12}$