$\displaystyle \lim _ {x \rightarrow 1} {\frac{a} {a ^ {x-1} -b ^ {x-1}}} \int _ {1} ^ {x} {\left (e ^ {c} \left (c+1 \right) -ec \right)} dc$ 의 값은 얼마인가?

(단, $a, b$ 는 모두 $1$ 이 아님)

• ①$0$
• ②$\displaystyle \frac{ae} {\ln a- \ln b}$
• ③$\displaystyle \frac{1} {2} \frac{e} {\ln a-a \ln b}$
• ④$\displaystyle \frac{1} {2} \frac{ae} {\ln a- \ln b}$