실수 전체의 집합에서 도함수가 연속인 함수 $f \left (x \right)$ 가 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f \left (x \right) > 0$ 이고 $\displaystyle \int _ {0} ^ {x} \left \{\ln f \left (x \right) - \ln f \left (t \right) \right \} \cos t d t = - \left (\frac{1} {2} \right) \cos 2 x + \frac{1} {2}$ 을 만족한다. $f \left (0 \right) = 2$ 일 때, $\displaystyle f \left (\frac{\pi} {2} \right)$ 의 값은?

• ①$e$
• ②$2 e$
• ③$e ^ {2}$
• ④$2 e ^ {2}$
• ⑤$e ^ {3}$