두 함수 $f (x)$ 와 $g (x)$ 가 $\displaystyle f (x) = \int _ {0} ^ {\tan x} {\sqrt {1+t ^ {2}} dt, g (x) = \int _ {0} ^ {2x} {f (t) dt}}$ 를 만족시킬 때, $\displaystyle g '' \left (\frac{\pi} {6} \right)$ 의 값은?

• ①$20$
• ②$24$
• ③$28$
• ④$32$
• ⑤$36$