$x \geq 0$ 에서 정의된 연속 함수 $f \left (x \right)$ 는 $f \left (x \right) \geq 0$ 을 만족시킨다. 모든 양의 실수 $a$ 에 대하여 $y= f \left (x \right)$, $x$ 축, $y$ 축 및 직선 $x=a$ 로 둘러싸인 영역을 $y$ 축을 중심으로 회전시켜 얻은 입체의 부피는 $a^4$ 이다. $\displaystyle 0 \leq x \leq \frac{\pi} {3}$ 에서 곡선 $y= f \left (x \right)$ 의 길이를 구하면?

• ①$\displaystyle \frac{\sqrt 2 \pi} {8} + \frac{\pi} {8} \ln \left (1+ \sqrt 2 \right)$
• ②$\displaystyle \frac{5 \pi} {18} + \frac{\pi} {8} \ln 3$
• ③$\displaystyle \frac{\sqrt 5 \pi} {4} + \frac{\pi} {8} \ln \left (2+ \sqrt 5 \right)$
• ④$\displaystyle \frac{\sqrt 17 \pi} {2} + \frac{\pi} {8} \ln \left (4+ \sqrt 17 \right)$
• ⑤$\displaystyle \sqrt 65 \pi + \frac{\pi} {8} \ln \left (8+ \sqrt 65 \right)$