‹아주대 2023학년도 45번

기출 아주대 2023학년도 45번

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※ 문제 42~45

아래 글을 읽고 물음에 답하라.

두 무한급수 ∑n=0∞an\displaystyle \sum _ {n=0} ^ {\infty} a_n 과 ∑n=0∞bn\displaystyle \sum _ {n=0} ^ {\infty} b_n 의 코시 곱(Cauchy product)은 무한급수 ∑n=0∞cn\displaystyle \sum _ {n=0} ^ {\infty} c_n 으로 정의한다. 여기서 cn=∑k=0nan−kbk\displaystyle c_n = \sum _ {k=0} ^ {n} a_ {n-k} b_k, n=0,1,2,⋯n=0, 1, 2, \cdots 이다. 코시 곱에 대하여 다음 사실이 알려져 있다.

  • 甲. ∑n=0∞an=A\displaystyle \sum _ {n=0} ^ {\infty} a_n =A, ∑n=0∞bn=B\displaystyle \sum _ {n=0} ^ {\infty} b_n =B 이고 둘 중 적어도 하나가 절대 수렴이면, ∑n=0∞cn=AB\displaystyle \sum _ {n=0} ^ {\infty} c_n =AB 이다.
  • 乙. 두 멱급수(power series) ∑n=0∞anxn\displaystyle \sum _ {n=0} ^ {\infty} a_n x^n, ∑n=0∞bnxn\displaystyle \sum _ {n=0} ^ {\infty} b_n x^n 의 코시 곱은 ∑n=0∞cnxn\displaystyle \sum _ {n=0} ^ {\infty} c_n x^n 이다. 여기서, cn=∑k=0nan−kbk\displaystyle c_n = \sum _ {k=0} ^ {n} a_ {n-k} b_k, n=0,1,2,⋯n=0, 1, 2, \cdots 이다.

이항 정리(binomial theorem)를 일반화하는 이항급수(binomial series)를 주목하자.

  • (1+x)r=∑n=0∞(rn)xn\displaystyle \left (1+x \right) ^r = \sum _ {n=0} ^ {\infty} \left (\begin{matrix*}[r] r \\ n \end{matrix*} \right) x^n, ∣x∣<1\left | x \right | <1

다음은 그 특별한 경우이다.

  • (＊) 11+x=∑n=0∞γnxn\displaystyle \frac{1} {\sqrt 1+x} = \sum _ {n=0} ^ {\infty} \gamma _n x^n, ∣x∣<1\left | x \right | <1
  • (#) f(x):=1(1+x)3=∑n=0∞ωnxn\displaystyle f \left (x \right) := \frac{1} {\left (1+x \right) ^ {3}} = \sum _ {n=0} ^ {\infty} \omega _ {n} x ^ {n}, ∣x∣<1\left | x \right | <1

한편, 식(＊)을 제곱하면 다음 식을 얻는다.

  • 11+x=∑n=0∞ξnxn\displaystyle \frac{1} {1+x} = \sum _ {n=0} ^ {\infty} \xi _n x^n, ∣x∣<1\left | x \right | <1

테일러 급수의 유일성을 이용하여 흥미로운 결과를 얻을 수 있다.

지문의 결말로 적절한 식을 고르라.

  • ①∑k=0n(−1)k(2k)!(2n−2k)!(k!)2((n−k)!)2=22n\displaystyle \sum _ {k=0} ^ {n} \frac{(-1) ^ {k} (2k)! (2n-2k)!} {(k!) ^ {2} ((n-k)!) ^ {2}} =2 ^ {2n}
  • ②∑k=0n(2k)!(2n−2k)!(k!)2((n−k)!)2=22n\displaystyle \sum _ {k=0} ^ {n} \frac{(2k)! (2n-2k)!} {(k!) ^ {2} ((n-k)!) ^ {2}} =2 ^ {2n}
  • ③∑k=0n(−1)k(2k+1)!(2n−2k)!(k!)2((n−k)!)2=22n+1\displaystyle \sum _ {k=0} ^ {n} \frac{(-1) ^k (2k+1)! (2n-2k)!} {(k!) ^2 ((n-k)!) ^2} =2^ {2n+1}
  • ④∑k=0n(2k+1)!(2n−2k)!(k!)2((n−k)!)2=22n+1\displaystyle \sum _ {k=0} ^ {n} \frac{(2k+1)! (2n-2k)!} {(k!) ^2 ((n-k)!) ^2} =2^ {2n+1}
  • ⑤∑k=0n(2k+1)!(2n−2k)!(k!)2((n−k)!)2=22n+2\displaystyle \sum _ {k=0} ^ {n} \frac{(2k+1)! (2n-2k)!} {(k!) ^2 ((n-k)!) ^2} =2^ {2n+2}
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