세 점 $A \left (a, 0, 0 \right)$, $B \left (0, a, 0 \right)$, $B \left (0, 0, a \right)$ 를 포함하는 평면에서 삼각형 $ABC$ 와 그 내부영역을 $T$ 라 하자. $\displaystyle \iint _ {T} ^ {} {x dS} = \frac{4 \sqrt {3}} {3}$ 일 때, 양의 실수 $a$ 의 값은?

• ①$1$
• ②$2$
• ③$3$
• ④$4$