자연수 $n (n \geq 3)$ 에 대하여 직선 $y=x+n$ 이 함수 $\displaystyle y= \frac{1} {x^ {2} -1}$ 의 그래프와 만나는 서로 다른 세 점의 $x$ 좌표를 각각 $\alpha _ {n}, \beta _ {n}, \gamma _ {n}$ 이라 하자.

$\alpha _ {n} + \beta _ {n} + \gamma _ {n} =a_ {n}, \alpha _ {n} \beta _ {n} + \beta _ {n} \gamma _ {n} + \gamma _ {n} \alpha _ {n} =b_ {n}, \alpha _ {n} \beta _ {n} \gamma _ {n} =c_ {n}$ 이라 할 때 $\displaystyle \sum _ {n=k} ^ {\infty} \frac{1} {a_ {n} ^ {3} +b_ {n} ^ {3} +c_ {n} ^ {3}} = \frac{1} {2025}$ 를 만족시키는 $k$ 의 값은?

• ①$675$
• ②$729$
• ③$813$
• ④$905$