자연수 $n$ 에 대하여 함수 $f_n (x)$ 를 열린 구간 $(0, \infty)$ 에서

$\displaystyle f_1 (x) = \ln x, f_ {n+1} (x) = \ln x+ \frac{1} {3} \int _ {1} ^ {e} {\frac{f_n (t)} {t}} dt$ 와 같이 정의할 때,

$\displaystyle g (x) = \lim _ {n \rightarrow \infty} {f_n (x)}$ 라 하자. $g (e^2)$ 의 값은?

• ①$\displaystyle \frac{9} {4}$
• ②$\displaystyle \frac{7} {3}$
• ③$\displaystyle \frac{11} {4}$
• ④$3$
• ⑤$\displaystyle \frac{11} {3}$