수열 $\left \{a _ {n} \right \}$ 이 $\displaystyle a _ {1} = \frac{1} {2}$, $\displaystyle 2 a _ {n + 1} = a _ {n} + \frac{1} {2 ^ {n}} \left (n = 1, 2, 3, \ldots \right)$ 을 만족시킬 때, $\displaystyle \sum _ {n = 1} ^ {\infty} a _ {n}$ 의 값은?

• ①$2$
• ②$3$
• ③$4$
• ④$6$
• ⑤$8$