$3$ 차원 공간에서 $xy-$ 평면상의 곡선 $3x=y ^{{2}} +3 (y \geq 0)$ 을 $x$ 축을 중심으로 $360$ 도 회전하여 $3$ 차원 곡면을 얻었다. 이 곡면 위의 점 $\displaystyle \left (x _ {1}, y _ {1}, \frac{1} {2} \right)$ 에 접하는 직선이 원점 $\left (0, 0, 0 \right)$ 을 지난다. 이 선분을 $xy-$ 평면상에 투영한 길이가 $a$ 이고, $yz-$ 평면상에 투영한 길이가 $b$ 일 때, $a+b$ 의 값을 계산하면 얼마인가? (단, $x _ {1} >0, y _ {1} >0$)

• ①$\displaystyle \frac{3} {2} \sqrt {3} + \frac{\sqrt {17}} {2}$
• ②$\displaystyle \sqrt {3} + \frac{\sqrt {17}} {2}$
• ③$\displaystyle \frac{5} {2} \sqrt {3}$
• ④$2 \sqrt {7}$