연속함수 $f (x)$ 가 $x \geq 1$ 인 모든 실수 $x$ 에 대하여 $\displaystyle \int _ {2} ^ {2 x} \frac{f (t)} {t^ {2}} d t= \sqrt {x} -1$ 을 만족시킨다. 곡선 $y=f (x)$ 와 $x$ 축 및 두 직선 $x=1, x=2$ 로 둘러싸인 영역을 $x$ 축 둘레로 회전시켜 얻은 입체의 부피는?

• ①$\displaystyle \frac{7} {16} \pi$
• ②$\displaystyle \frac{15} {32} \pi$
• ③$\displaystyle \frac{\pi} {2}$
• ④$\displaystyle \frac{17} {32} \pi$
• ⑤$\displaystyle \frac{9} {16} \pi$