수열 $\left \langle a_ {n} \right \rangle$ 에 대하여 $\displaystyle a_ {1} = \frac{1} {2}$ 이고, $n \geq 2$ 일 때 $a _ {1}, a _ {2}, \ldots, a _ {n}$ 의 산술평균이 $n a_ {n}$ 과 같다고 하자. 이때 $\displaystyle \sum _ {n=1} ^ {\infty} n^ {k} a_ {n}$ 이 수렴하기 위한

가장 큰 정수 $k$ 의 값은?

• ①$-2$
• ②$-1$
• ③$0$
• ④$1$
• ⑤$2$