$n \times n$ 행렬 전체로 이루어진 벡터공간 $M _ {n}$ 의 두 부분공간

$V= \left \{A \in M _ {n} \left | A ^ {t} =A \right \} \right.$, $W= \left \{A \in M _ {n} \left | A ^ {t} =-A \right \} \right.$

에 대하여 $2 \dim V + 3 \dim W = 555$ 일 때, 자연수 $n$ 을 구하시오.

(단, $A ^ {t}$ 는 $A$ 의 전치행렬이다.)