아주대 2021학년도 오후 50번

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기출 아주대 2021학년도 오후 50번

※ 문제 48~50

아래 글을 읽고 물음에 답하라.

※ 중심이 $(3, 3)$ 이고 반지름이 $r$ 인 (단, $r>0$ ) 반시계 방향의 원을 $C_r$ 이라고 하자. 그리고 포물선 $y=x^2$ 을 따라 점 $(1, 1)$ 에서 점 $(2, 4)$ 에 이르는 곡선을 $\widetilde{C}$ 라 하자. 평면상의 벡터장을 아래와 같이 정의한다.
$\mathbf{F} _1 (x, y) =x \mathbf{i}$
$\mathbf{F} _ {2} (x, y) =-y \mathbf{i} - x \mathbf{j}$
$\displaystyle \mathbf{F} _ {3} (x, y) = \frac{x} {x ^ {2} +y ^ {2}} \mathbf{i} + \frac{y} {x ^ {2} +y ^ {2}} \mathbf{j} \mathbf{F} _ {4} (x, y) =- \frac{2y} {x ^ {2} +y ^ {2}} \mathbf{i} + \frac{2x} {x ^ {2} +y ^ {2}} \mathbf{j}$
$\displaystyle \mathbf{F} _ {5} (x, y) =- \frac{y-2} {(x-2) ^ {2} + (y-2) ^ {2}} \mathbf{i} + \frac{x-2} {(x-2) ^ {2} + (y-2) ^ {2}} \mathbf{j}$

아래 극한을 구하라.

$\displaystyle \lim _ {r \rightarrow \infty} {\int _ {C _ {r}} ^ {} {\mathbf{F _ {4}} \bullet d \mathbf{r}}}$

해설