밑면이 변의 길이가 $a$ 인 정사각형이고 높이가 $b$ 인 직육면체 모양의 뚜껑이 없는 용기를 만들고자 한다. 이 용기의 겉넓이가 $24$ 이면서 부피가 최대가 될 때, $a^2 +b^2$ 의 값은?

• ①$4$
• ②$6$
• ③$8$
• ④$10$
• ⑤$12$