행렬 $A$ 와 벡터 $\overrightarrow{b}$ 가 다음과 같을 때, $\displaystyle A= \frac{1} {2} \begin{bmatrix*}[r] \sqrt {2} & - \sqrt {6} \\ \sqrt {6} & \sqrt {2} \end{bmatrix*}$, $\overrightarrow{b} = \left [\begin{matrix*}[r] 1 \\ 2 \end{matrix*} \right]$ 벡터 $\overrightarrow{x} \in ℝ^2$ 에 대하여 변환 $L : ℝ^2 \rightarrow ℝ^2$ 는 $L \left (\overrightarrow{x} \right) =A^4 \overrightarrow{x} + \overrightarrow{b}$ 로 정의된다. 이 변환 $L$ 을 이용하여 벡터 $\left [\begin{matrix*}[r] 1 \\ 1 \end{matrix*} \right]$, $\left [\begin{matrix*}[r] 2 \\ 1 \end{matrix*} \right]$, $\left [\begin{matrix*}[r] 3 \\ 4 \end{matrix*} \right]$ 를 변환한 결과를 각각 $\left [\begin{matrix*}[r] x_1 \\ y_1 \end{matrix*} \right]$, $\left [\begin{matrix*}[r] x_ {2 \\} y_2 \end{matrix*} \right]$, $\left [\begin{matrix*}[r] x_ {3 \\} y_3 \end{matrix*} \right]$ 라 정의할 때, $\left | \det \left (\begin{bmatrix*}[r] x _ {1} -x _ {3} & x _ {2} -x _ {3} \\ y _ {1} -y _ {3} & y _ {2} -y _ {3} \end{bmatrix*} \right) \right |$ 의 값을 구하시오.

(단, $\det \left (A \right)$ 는 행렬 $A$ 의 행렬식)

• ①$12$
• ②$16$
• ③$32$
• ④$48$