함수 $\displaystyle f (x) = \sqrt{\cos x} \int \tan ^3 x \sec ^ {- \frac{1} {2}} x dx$ 가 $\displaystyle f (0) = \frac{8} {3}$ 을 만족시킬 때, $\displaystyle 0 \leq x < \frac{\pi} {2}$ 에서 함수 $f (x)$ 의 최솟값은?

• ①$\displaystyle \frac{4 \sqrt{3}} {3}$
• ②$\sqrt{3}$
• ③$\displaystyle \frac{2 \sqrt{3}} {3}$
• ④$\displaystyle \frac{\sqrt{3}} {3}$
• ⑤$\displaystyle \frac{1} {3}$