$3 \times 3$ 행렬 $J$ 를 모든 성분이 $1$ 인 행렬이라 하고 $\displaystyle A = I + \frac{1} {3} J$ 라 하자. 이때 $A ^ {10} = m A + n I$ 를 만족하는 정수 $m, n$ 이 존재한다. $m + n$ 의 값은? (단, $I$ 는 $3 \times 3$ 단위행렬)