※ 문제 48~50

중심이 원점이고 반지름이 $2$ 인 원을 시계 반대 방향으로 회전하는 곡선을 $C_1$ 이라 하자. 오른쪽 그림에서와 같이 두 개의 반원과 두 개의 선분으로 이루어진 단일폐곡선을 $C_2$ 라 하고, 곡선 $C_2$ 로 둘러싸인 영역을 $R$ 이라 하자. 물음에 답하라.

영역 $R$ 모양의 얇은 판(lamina)을 생각하자. $R$ 의 각 점에서의 밀도가 원점으로부터의 거리에 비례한다고 할 때 $R$ 의 무게중심(centroid)의 $y$ -좌표를 구하라.

• ①$1$
• ②$\displaystyle \frac{56 \pi} {15}$
• ③$\displaystyle \frac{56} {15} \pi$
• ④$\displaystyle \frac{\pi} {5}$
• ⑤$\displaystyle \frac{5} {\pi}$