$A= \begin{pmatrix*}[r] 3 & \sqrt {2} & 0 & 0 \\ \sqrt {2} & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \sqrt {2} \\ 0 & 0 & \sqrt {2} & 2 \end{pmatrix*}, x= \left (\begin{matrix*}[r] \begin{matrix*}[r] \begin{matrix*}[r] x _ {1} \\ x _ {2} \end{matrix*} \\ x _ {3} \end{matrix*} \\ x _ {4} \end{matrix*} \right) \in VecR^4$ 일 때

$x \neq 0$ 에 대하여 $\displaystyle \frac{x^T A^T Ax} {x^T x}$ 의 최댓값은?

(단, $A^T$ 와 $x^T$ 는 각각 $A$ 와 $x$ 의 전치 $(t r a n s p o s e)$ 행렬이다.)

• ①$5$
• ②$9$
• ③$10$
• ④$16$