반지름이 $1$ 인 반원에서 정상상태의 온도분포 $u (r, \theta)$ 가 라플라스 방정식

$\displaystyle \frac{\partial ^2 u} {\partial r^2} + \frac{1} {r} \frac{\partial u} {\partial r} + \frac{1} {r^2} \frac{\partial ^2 u} {\partial \theta ^2} =0$

과 조건

$u (r, 0) =0, u (r, \pi) =0, u (1, \theta) =f (\theta)$

을 만족하고 $r \rightarrow 0$ 일 때 $u (r, \theta)$ 는 유한하다. 위 문제의 해의 형태는

$\displaystyle u (r, \theta) = \sum _ {n=1} ^ {\infty} (A_n r^n +B_n r^ {-n}) \sin (n \theta)$

이다. 다음 중 옳지 않은 것을 고르시오.

• ①$\displaystyle A_n = \frac{2} {\pi} \int _ {0} ^ {\pi} {f (\theta) \sin (n \theta) d \theta, n=1, 2, 3, \cdots}$
• ②$B_n =0, n=1, 2, 3, \cdots$
• ③$f (\theta) = \sin \theta$ 일 때, $A_1 =1, A_n =0, n=2, 3, 4, \cdots$
• ④$f (\theta) = \sin \theta$ 일 때, $u (r, \theta) = \sin \theta$