파동방정식 $\displaystyle \frac{\partial ^2 u} {\partial t^2} = \frac{\partial ^2 u} {\partial x^2}$ 이 경계조건 $u (0, t) =u (1, t) =0$ 을 만족한다. 고정된 $x$ 에 대해서 $u (x, t)$ 의 라플라스 변환을 $\displaystyle \mathscr{L} \left \{u (x, t) \right \} = \int _0^ {\infty} e^ {-st} u (x, t) dt =U (x, s)$ 라고 할 때, 다음 중 옳지 않은 것을 고르시오.

• ①초기조건 $u (x, 0) = \sin \pi x$, $\displaystyle \left. \frac{\partial u} {\partial t} \right | _ {t=0} =u_t (x, 0) =0$ 이 주어졌을 때, 파동방정식에 라플라스 변환을 취하면 $\displaystyle \frac{d^2 U} {dx^2} -s^2 U (x, s) =-s \cdot \sin \pi x$ 이다.
• ②초기조건 $u (x, 0) =0$, $\displaystyle \left. \frac{\partial u} {\partial t} \right | _ {t=0} =u_t (x, 0) = \sin \pi x$ 이 주어졌을 때, 파동방정식에 라플라스 변환을 취하면 $\displaystyle \frac{d^2 U} {dx^2} -s^2 U (x, s) = \sin \pi x$ 이다.
• ③초기조건 $u (x, 0) = \sin \pi x$, $\displaystyle \left. \frac{\partial u} {\partial t} \right | _ {t=0} =u_t (x, 0) =0$ 이 주어지면 파동방정식의 해는 $u (x, t) = \cos \pi t \sin \pi x$ 이다.
• ④초기조건 $u (x, 0) =0$, $\displaystyle \left. \frac{\partial u} {\partial t} \right | _ {t=0} =u_t (x, 0) = \sin \pi x$ 이 주어지면 파동방정식의 해는 $\displaystyle u (x, t) = \frac{1} {\pi} \sin \pi t \sin \pi x$ 이다.