양쪽 끝이 고정되어 있는 길이 $2$ 인 진동하는 현에서, 위치 $x$, 시간 $t$ 일 때의 수직 변위를 $u \left (x, t \right)$ 라 하자. 현의 초기 변위가 $f \left (x \right)$, 초기 속도가 $0$ 일 때의 파동방정식

$\displaystyle a ^ {2} \frac{\partial ^ {2} u} {\partial x ^ {2}} = \frac{\partial ^ {2} u} {\partial t ^ {2}}, 0 < x < 2, t > 0$

$u \left (0, t \right) = 0, u \left (2, t \right) = 0, t > 0$

$\displaystyle u \left (x, 0 \right) = f \left (x \right), {\left. \frac{\partial u} {\partial t} \right |} _ {t = 0} = 0, 0 < x < 2$

은 해를 $\displaystyle u \left (x, t \right) = \sum _ {n = 1} ^ {\infty} A _ {n} \cos \left (\frac{n \pi a} {2} t \right) \sin \left (\frac{n \pi} {2} x \right)$ 의 형태로 가지게 된다. $f \left (x \right) = \sin \left (2 \pi x \right)$ 로 주어질 때, $\displaystyle \sum _ {n = 1} ^ {5} A _ {n}$ 를 구하시오.

• ①$\displaystyle \frac{1} {\pi}$
• ②$\displaystyle \frac{2} {\pi}$
• ③$1$
• ④$2$