점 ${P} (0, 0, 1) \in ℝ^ {3}$ 에서 삼변수 함수 $f (x, y, z) =3 z+e^ {x^ {2} -y^ {2}}$ 의 최대변화율을 $M$ 이라 하자. 점 $P$ 에서 $f$ 의 방향도함수의 값이 $\displaystyle \frac{M} {3}$ 이 되는 모든 벡터 $v$ 에 대하여, $\displaystyle \frac{{v}} {| {v} |}$ 의 끝점이 만드는 도형의 둘레의 길이는?

• ①$\pi$
• ②$\displaystyle \frac{2 \sqrt {2}} {3} \pi$
• ③$\displaystyle \frac{4 \sqrt {2}} {3} \pi$
• ④$\displaystyle \frac{8} {9} \pi$