미분가능한 두 이변수함수 $f \left (x, y \right)$, $g \left (x, y \right)$ 가 두 점 $P \left (1, 2 \right)$, $Q \left (2, 2 \right)$ 에서 다음을 만족시킨다.

점 $P$ 에서 함수 $F \left (x, y \right) =f \left (g \left (x, y \right), xy \right)$ 가 가장 빨리 증가하는 방향의 단위벡터를 $v$ 라 할 때, $v-$ 방향도함수 $D _ {\mathrm{v}} F \left (P \right)$ 의 값은?

• ①$4$
• ②$\sqrt {17}$
• ③$3 \sqrt {2}$
• ④$\sqrt {19}$
• ⑤$2 \sqrt {5}$