$\displaystyle f \left (x, y \right) = \begin{cases} \frac{x ^ {3} +y \left | y \right |} {\sqrt {x ^ {2} +y ^ {2}}} \left (x, y \right) \neq \left (0, 0 \right) \\ 0 \left (x, y \right) = \left (0, 0 \right) \end{cases}$ 와 평면 벡터 $\displaystyle u= \left (\frac{1} {\sqrt {2}}, \frac{1} {\sqrt {2}} \right)$ 에 대하여 $\nabla f \left (0, 0 \right) = \left (a, b \right)$, $D _ {u} f \left (0, 0 \right) =c$ 라고 할 때, $a+b+c$ 의 값은?

• ①$0$
• ②$1$
• ③$\displaystyle \frac{3} {2}$
• ④$\displaystyle 1+ \frac{1} {\sqrt {2}}$
• ⑤$2$