중심이 $(1, 1, 1)$ 이고 반지름이 $a$ 인 구면 $(x-1) ^ {2} + (y-1) ^ {2} + (z-1) ^ {2} =a^ {2}$ 과 평면 $x+y+z=3$ 이 만나는 곡선을 $C_ {a}$ 라고 하자. 벡터장 $F (x, y, z) = \left (x ^ {2} -y ^ {2} \right) \mathbf{i} +x ^ {2} \mathbf{j} +yz \mathbf{k}$ 에 대하여 극한 $\displaystyle \lim _ {a \rightarrow 0} {} \frac{\sqrt {3}} {\pi a ^ {2}} \int _ {C _ {a}} ^ {} {} F \cdot dr$ 의 값은? (단, $C_ {a}$ 는 위에서 볼 때 시계 반대 방향을 가진다.)