미분가능한 함수 $f \left (x, y, z \right)$ 에 대하여 점 ${P}$ 에서 $f$ 의 최대변화율이 벡터 $\displaystyle \left (\frac{2} {3}, \frac{1} {3}, - \frac{2} {3} \right)$ 방향에서 $6$ 이다. 점 ${P}$ 에서 벡터 $\displaystyle \left (\frac{7} {9}, - \frac{4} {9}, - \frac{4} {9} \right)$ 방향에 대한 함수 $f$ 의 방향도함수를 $a$ 라 할 때, $a ^ {2}$ 의 값을 구하시오.